Total Groups

Bruno Deschamps[1]; Ivan Suarez Atias[1]

  • [1] Département de Mathématiques Université du Maine Avenue Olivier Messiaen 72085 Le Mans cedex 9 FRANCE

Annales mathématiques Blaise Pascal (2013)

  • Volume: 20, Issue: 2, page 261-299
  • ISSN: 1259-1734

Abstract

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Total groups are groups for which the dimension of the invariant algebra center of a central simple algebra 𝔄 f associated to a 2 -cocycle f ∈ Z 2 ( Gal ( L / k ) , L * ) under a lifting of the Galois action to 𝔄 f is constant for all k and f . In this article, we show that the quasi-CC groups (groups with cyclic center and for which all the centralizer of non-central elements are cyclic) are total. CC-groups, which are quasi-CC groups with trivial center, are thus total. We give a complete classification of these groups. We also describe a general family of quasi-CC groups which are not CC: the meta-dicyclic groups.

How to cite

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Deschamps, Bruno, and Suarez Atias, Ivan. "Groupes totaux." Annales mathématiques Blaise Pascal 20.2 (2013): 261-299. <http://eudml.org/doc/275567>.

@article{Deschamps2013,
abstract = {Les « groupes totaux » sont les groupes pour lesquels la dimension du centre l’algèbre des invariants d’une algèbre simple centrale $\mathfrak\{A\}_f$ associée à un $2$-cocycle $f\in \hbox\{\rm Z\}^2 (\hbox\{\rm Gal\}(L/k), L^*)$ sous l’action d’un relevé de l’action galoisienne à $\mathfrak\{A\}_f$ est constante quels que soient $k$ et $f$. Dans cet article, nous montrons que les groupes quasi-CC (qui sont les groupes de centre cyclique et dont les centralisateurs des éléments hors du centre sont cycliques) sont totaux. Les groupes de type CC qui sont les groupes quasi-CC à centre trivial sont donc totaux. Nous en donnons une classification complète. Nous décrivons également une famille infinie de groupes quasi-CC qui ne sont pas de type CC : les groupes méta-dicycliques.},
affiliation = {Département de Mathématiques Université du Maine Avenue Olivier Messiaen 72085 Le Mans cedex 9 FRANCE; Département de Mathématiques Université du Maine Avenue Olivier Messiaen 72085 Le Mans cedex 9 FRANCE},
author = {Deschamps, Bruno, Suarez Atias, Ivan},
journal = {Annales mathématiques Blaise Pascal},
keywords = {Simple central algebra; Galois action; CA and CC groups},
language = {fre},
month = {7},
number = {2},
pages = {261-299},
publisher = {Annales mathématiques Blaise Pascal},
title = {Groupes totaux},
url = {http://eudml.org/doc/275567},
volume = {20},
year = {2013},
}

TY - JOUR
AU - Deschamps, Bruno
AU - Suarez Atias, Ivan
TI - Groupes totaux
JO - Annales mathématiques Blaise Pascal
DA - 2013/7//
PB - Annales mathématiques Blaise Pascal
VL - 20
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AB - Les « groupes totaux » sont les groupes pour lesquels la dimension du centre l’algèbre des invariants d’une algèbre simple centrale $\mathfrak{A}_f$ associée à un $2$-cocycle $f\in \hbox{\rm Z}^2 (\hbox{\rm Gal}(L/k), L^*)$ sous l’action d’un relevé de l’action galoisienne à $\mathfrak{A}_f$ est constante quels que soient $k$ et $f$. Dans cet article, nous montrons que les groupes quasi-CC (qui sont les groupes de centre cyclique et dont les centralisateurs des éléments hors du centre sont cycliques) sont totaux. Les groupes de type CC qui sont les groupes quasi-CC à centre trivial sont donc totaux. Nous en donnons une classification complète. Nous décrivons également une famille infinie de groupes quasi-CC qui ne sont pas de type CC : les groupes méta-dicycliques.
LA - fre
KW - Simple central algebra; Galois action; CA and CC groups
UR - http://eudml.org/doc/275567
ER -

References

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  1. A. Davydov, Twisted automorphisms of group algebras, arXiv :0708.2758 (2007) Zbl1205.16027MR2742735
  2. M. Suzuki R. Brauer, G.E. Wall, A characterization of the one-dimensional unimodular projective groups over finite fields, Illinois Journal of Mathematics 2 (1958), 718-745 Zbl0083.25202MR104734
  3. M. Suzuki, The nonexistence of a certain type of simple groups of odd order, Proceedings of the American Mathematical Society (American Mathematical Society) 8 (1957), 686-695 Zbl0079.03104MR86818
  4. J.-P. Tignol, Sur les décompositions des algèbres à division en produit tensoriel d’algèbres cycliques, 917 (1982), 126-145, Springer, Berlin-New York Zbl0485.16012MR657427
  5. L. Weisner, Groups in which the normaliser of every element except identity is abelian, Bull. Amer. Math. Soc. 31 (1925), 413-416 Zbl51.0112.06MR1561078
  6. Y.-F. Wu, Groups in which commutativity is a transitive relation, J. Algebra 207 (1998), 165-181 Zbl0909.20021MR1643082

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