Let $[·]$ be the floor function. In this paper, we prove by asymptotic formula that when $1<c<\frac{3441}{2539}$, then every sufficiently large positive integer $N$ can be represented in the form $$N=\left[p_1^c\right]+\left[p_2^c\right]+\left[p_3^c\right]+\left[p_4^c\right]+\left[p_5^c\right],$$ where $p_1$, $p_2$, $p_3$, $p_4$, $p_5$ are primes such that $p_1=x^2+y^2+1$.

Soit $f\left(x\right)$ une fraction rationnelle à coefficients entiers, vérifiant des hypothèses assez générales. On prouve l’existence d’une infinité d’entiers $n$, ayant exactement deux facteurs premiers, tels que la somme d’exponentielles ${\sum }_{x=1}^{n}exp(2\pi if\left(x\right)/n)$ soit en $O\left(n^{\frac{1}{2}-{\beta }_f}\right)$, où ${\beta }_f\&gt;0$ est une constante ne dépendant que de la géométrie de $f$. On donne aussi des résultats de répartition du type Sato-Tate, pour certaines sommes de Salié, modulo $n$, avec $n$ entier comme ci- dessus.

For a prime $p$ and positive integers $\ell \&lt;k\&lt;h\&lt;p$ with $d=(h,k,\ell ,p-1)$, we show that $M$, the number of simultaneous solutions $x,y,z,w$ in ${\mathbb{Z}}_p^{*}$ to $x^h+y^h=z^h+w^h$, $x^k+y^k=z^k+w^k$, $x^{\ell }+y^{\ell }=z^{\ell }+w^{\ell }$, satisfies$${\displaystyle M\le 3d^2{(p-1)}^2+25hk\ell (p-1).}$$When $hk\ell =o\left(p{d}^2\right)$ we obtain a precise asymptotic count on $M$. This leads to the new twisted exponential sum bound$${\displaystyle \left|\sum _{x=1}^{p-1}\chi \left(x\right)e^{2\pi if\left(x\right)/p}\right|\le 3^{\frac{1}{4}}{d}^{\frac{1}{2}}{p}^{\frac{7}{8}}+\sqrt{5}{\left(hk\ell \right)}^{\frac{1}{4}}{p}^{\frac{5}{8}},}$$for trinomials $f=a{x}^h+b{x}^k+c{x}^{\ell }$, and to results on the average size of such sums.